数学美的表现形式是多种多样的,从数学内容看,有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看,有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看,有对称之美、和谐之美、奇异之美等.
（一）语言美
数学有着自身特有的语言———数学语言,其中包括：
1 数的语言——符号语言
关于“∏” ,《九章算术》 如斯说：“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数,我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形,其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）.还有sin∂、∞ 等等,一个又一个数的语言,无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致.
2形的语言——视角语言
从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置?）；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合!）；鲜明性（“最大值”、“最小值” 让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”,并深切地感悟到：有山有水的地方,为何总是人杰地灵的内在神韵……）和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现,保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等.
（二）简洁美
爱因期坦说过：“美,本质上终究是简单性.”他还认为,只有借助数学,才能达到简单性的美学准则.朴素,简单,是其外在形式.只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美.
欧拉给出的公式：V－E＋F＝2,堪称“简单美”的典范.世间的多面体有多少?没有人能说清楚.但它们的顶点数V、棱数E、面数F,都必须服从欧拉给出的公式,一个如此简单的公式,概括了无数种多面体的共同特性,能不令人惊叹不已?!
在数学中,像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多.比如：圆的周长公式：C=2πR
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方 + = .
正弦定理：ΔABC的外接圆半径R,则
数学的这种简洁美,用几个定理是不足以说清的,数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁.正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”.
庞加莱指出：“在解中,在证明中,给我们以美感的东西是什么呢?是各部分的和谐,是它们的对称,是它们的巧妙、平衡”.
（四）、和谐美
美是和谐的．和谐性也是数学美的特征之一．和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性．
没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性.
—— Carus,Paul
数论大师赛尔伯格曾经说,他喜欢数学的一个动机是以下的公式： ,这个公式实在美极了,奇数1、3、5、…这样的组合可以给出 ,对于一个数学家来说,此公式正如一幅美丽图画或风景.
欧拉公式： ,曾获得“最美的数学定理”称号.欧拉建立了在他那个时代,数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系,包容得如此协调、有序.与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是 ――（1）.这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了.对他们的结合,人们始则惊诧,继而赞叹――确是“天作之合”.
和谐的美,在数学中多得不可胜数.如著名的黄金分割比 ,即0.61803398….
在正五边形中,边长与对角线长的比是黄金分割比.建筑物的窗口,宽与高度的比一般为 ；人们的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点,人的肘关节是手臂的黄金分割点,肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为23摄氏度时,人感到最舒服,此时23:37（体温）约为0.618；名画的主题,大都画在画面的0.618处,弦乐器的声码放在琴弦的0.618处,会使声音更甜美.建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格,音乐作品的优美节奏,交融于数的对称美与和谐美之中.
黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用.达·芬奇称黄金分割比 为“神圣比例”．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”.与 有关的问题还有许多, “黄金分割”、“神圣比例”的美称,她受之无愧.
（四）奇异美
全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”,其中有一道相当简单的问题：有哪些分数 ,不合理地把b约去得到 ,结果却是对的?
经过一种简单计算,可以找到四个分数： .这个问题涉及到“运算谬误,结果正确”的歪打正着,在给人惊喜之余,不也展现一种奇异美吗.
还有一些“歪打正着等式”,比如
人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同,它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线,这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹,
当e＜1时,形成的是椭圆．当e＞1时,形成的是双曲线．当e＝1时,形成的是抛物线．
常数e由0.999变为1、变为0.001,相差很小,形成的却是形状、性质完全不同的曲线.而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线.
椭圆与正弦曲线会有什么联系吗?做一个实验,把厚纸卷几次,做成一个圆筒.斜割这一圆筒成两部分.如果不拆开圆筒,那么截面将是椭圆,如果拆开圆筒,切口形成的即是正弦曲线.这其中的玄妙是不是很奇异、很美.
（五）对称美
在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”.毕达哥拉斯学派认为,一切空间图形中,最美的是球形；一切平面图形中,最美的是圆形.圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心,圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴.
梯形的面积公式：S＝ ,
等差数列的前n项和公式： ,
其中a是上底边长,b是下底边长,其中a1是首项,an是第n项,这两个等式中,a与a1是对称的,b与an是对称的.h与n是对称的.
对称美的形式很多,对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的,人们对于对称美的追求是自然的、朴素的.如我们喜爱的对数螺线、雪花,知道它的一部分,就可以知道它的全部.李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律.从中我们体会到了对称的美与成功.
（六）创新美
欧几里得几何曾经是完美的经典几何学,其中的公理5：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角”,这些似乎是天经地义的绝对真理.但罗马切夫斯基却采用了不同公理5的结论：“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”,在这种几何里,“三角形内角和小于二直角”,从而创造了罗氏几何.黎曼几何学没有平行线.这些与传统观念相违背的理论,并不是虚无飘渺的,当我们进行遥远的天文测量时,用罗氏几何学是很方便的,原子物理、狭义相对论中也有应用；而爱因斯坦建立的广义相对论中,较多地利用了黎曼几何这个工具,才克服了所遇到的数学计算上的困难.每一个理论都在需要不断创新,每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地.这种开阔了我们的视野、开阔了我们心胸、给我们完全不同感受的难到不是切入肌肤的美吗?如果我们再大胆设想一下,是不是还存在一个能包容欧氏几何和非欧几何的更广泛的几何学呢?事实上,通过高斯曲率可以将三种几何统一在曲面的内在几何学中,还可以通过克莱因几何学与变换群的观点将三种几何统一起来.在不断创新的过程中,数学得到了发展.
（七）统一美
数的概念从自然数、分数、负数、无理数,扩大到复数,经历了无数次坎坷,范围不断扩大了,在数学及其他学科的作用也不断地增大.那么,人们自然想到能否再把复数的概念继续推广.
英国数学家哈密顿苦苦思索了15年,没能获得成功.后来,他“被迫作出妥协”,牺牲了复数集中的一条性质,终于发现了四元数,即形为a1+a2i+a3j+a4k （a1 ,a2 ,a3 ,a4 为实数）的数,其中i、j、k如同复数中的虚数单位.若a3 ＝a4 ＝0,则四元数a1+a2i+a3j+a4k 是一般的复数.四元数的研究推动了线性代数的研究,并在此基础上形成了线性代数理论.物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论.
数学的发展是逐步统一的过程.统一的目的也正如希而伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”.
爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论.他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中质能关系,这不能不说是一件统一的艺术品.但他还是没有完成统一的梦想.人类在不断探寻着纷繁复杂的世界,又在不断地用统一的观点认识世界,宇宙没有尽头,统一美也需要永远的追求.
（八）类比美
解析几何中的代数语言具有意想不到的作用,因为它不需要从几何考虑也行.考虑方程 我们知道,它是一个圆.圆的完美形状,对称性,无终点等都存在在哪里呢?在方程之中!例如, 与 对称,等等.代数取代了几何,思想取代了眼睛!在这个代数方程的性质中,我们能够找出几何中圆的所有性质.这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示,能够探索出更深层次的概念.那就是四维几何.我们为什么不能考虑下述方程呢? 以及形如 的方程呢?这是一个伟大的进步.仅仅靠类比,就从三维空间进入高维空间,从有形进入无形,从现实世界走向虚拟世界.这是何等奇妙的事情啊!用宋代著名哲学家程颢的诗句可以准确地描述这一过程：道通天地有形外,思入风云变态中.
（九）抽象美、自由美
从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性.正如开普勒所说的：“对于外部世界进行研究的主要目的,在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐,而这些是上帝以数学语言透露给我们的”.
数学的第一特征在于她具有抽象思维的能力,在数学中所处理的是抽象的量,是脱离了具体事物内容的用符号表示的量.它可以成为任何一个具体数的代数,但它又不等于任何具体数.比如“N”表示自然数,它不是N个岗位,N只鸡或N张照片……也不是哪一个具体的数,分不清是0 ?是1?或者说100?……“知道”中蕴含着“不知道”,“具体”中充满了“不具体”,它就是这样一个抽象的数!
达·芬奇是15至16世纪的一位艺术大师和科学巨匠.他用一句话概括了他的《艺术专论》的思想：“欣赏我的作品的人,没有一个不是数学家”
历史上不少著名人物都迷恋音乐,大数学家克兰纳克就是一例.一位数学王子何以如此迷恋音乐?原因也许是多方面的,依我看,最重要的一点就是数学和音乐均为一种抽象语言,它们都充满了抽象美、自由美.而且,数学和音乐还是两个人造的金碧辉煌的世界,前者仅用十个阿拉伯数字和若干符号便造出了一个无限的、绝对真的世界,后者仅用五条线和一些蝌蚪状的音符就造出了一个无限的、绝对美的世界.如果说,音乐是人类感情活动最优美的表现,那么数学便是人类理性活动最惊人的产品.
（十）辩证美
熟悉数学的人都体会到在数学中充满着辩证法.如果说各门科学都包含着丰富的辩证思想,那么,数学则有自己特殊的表现,即用数学的符号语言以及简明的数学公式能明确地表达出各种辩证的关系和转化.
例如：初等数学中：点与坐标的对应；曲线与方程之间的关系；概率论和数理统计所揭示出的事物的必然性与偶然性的内在联系等.以及高三数学里所涉及的：极限概念,特别是现代的极限语言,很好地体现了有限与无限,近似和精确的辩证关系；牛顿——莱布尼茨公式描述了微分和积分两种运算之间的联系和相互转化等等.
这类事例在数学中比比皆是.当然,要真正掌握好“数学美”,仅仅知道一些数学知识还是远远不够的,还必须善于发现各种数学结构、数学运算之间的关系,建立和运用它们之间的联系和转化.唯其如此,才能发挥出蕴藏在数学中的辩证思维的力量.数学中许多计算方法之灵巧,证明方法之美妙,究其思路,往往就是综合利用了各种关系并对他们进行过适宜的转化而成的.
掌握了“两优择其重,两劣择其轻”这一辩证的比较思想,我们就掌握了解这类题目的钥匙.其实,全部数学无处不在贯彻“两优择其重,两劣择其轻”这一原则.数学无处不体现着辩证法,数学家们无时不在用辩证的眼光看问题.陈省身教授80年代在北大讲学时说：“人们常说,三角形内角和等于180°,但是,这是不对的!”……“说三角形内角和为 180°不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对.应该说三角形外角和是360°!把眼光盯住内角,只能看到：三角形内角和是180°；四边形内角和是360°；五边形内角和是 540°……n边形内角和是 （n-2）180°,虽然找到了一个计算内角和的公式,但公式里包含边数n.如果看外角呢?三角形外角和是360°,四边形外角和是 360°,五边形外角和是360°,……,n边形外角和是 360°.
这就把多种情况用一个十分简单的结论概括起来了,用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式,找到了更一般的规律.”其实,数学又何尝不是美学?
数学的力量是无穷的,数学美犹如但丁神曲中的诗句,优美和谐的乐曲,别具一格的绘画,雄伟壮美的建筑,同样会使数学学习者们激情荡漾,兴趣盎然!数学之美,还可以从更多的角度去审视,而每一侧面的美都不是孤立的,她们是相辅相成、密不可分的.她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘,更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧的内涵和思想,及其对人类思维的深刻影响.如果在学习过程中,我们能与数学家,教师们一起探索、发现,从中获得成功的喜悦和美的享受,那么我们就会不断深入其中,欣赏和创造美.相信我们的数学学习一定能够取得更好的学习效果.
个人简介：高中数学教师,从教十年,发表论文“类比三角公式,寻找解题入口”,“一石激起千层浪”.
采纳我吧!
滕州市第一中学，简称滕州一中，是山东省精神文明建设先进单位、山东省级规范化学校和山东省属重点中学，位于山东省滕州市学院路，该校前身是华北弘道院，1913年由美国传教士创办。
滕州一中始建于1913年，至今已走过了百余年历程。学校初为美国传教士狄乐播创办的新民学校，1922年9月，美国传教士赫士博士将创办于潍县的华北神学院迁到滕县，与新民学校共享一个校园。此后大约20年的时间里，滕县中学、滕文中学先后在此建校或复学。经过几十年的经营，学校逐渐发展成为声名远播的教育重镇，著名学者梁漱溟、贾玉铭，美国耶鲁大学神学科科长韦格尔博士、日本作家贺川丰彦博士等中外饱学之士都曾在此传道授业。
1950年9月，学校更名为山东省立滕县中学。新中国建立伊始，百废待兴，德高望重的教育家曹洁村、冯昌和以及北大才子魏仲辉等校领导，怀引西润中之胸襟，于中西文化兼容并蓄，提出了“以善先人、因材施教、博观深悟、强学力行”的办学理念，他们敦品励学，孜孜以求，学校很快再次便声名鹊起，1962年被教育厅确定为山东省重点中学，1964年被教育部确定为全国31所大改试点校之一。1988年3月伴随滕州县升市改为滕州市第一中学。
目前，学校有东、西两个校区，在编教师780人，在校学生9000余名。占地500余亩，建筑面积约13万平方米，校园网络、语音室、微机室、实验室、图书馆、室内体育馆、塑胶跑道等现代化设施一应俱全。2020年11月，被评为第五届全国未成年人思想道德建设工作先进单位。
创办初期
1913年，由美国基督教北长老会牧师狄乐播创办新民学校，设于今山东滕州北关。学制4年,教学内容以“道学为主，常识为副”，设有国文、英文、圣经、算学、历史、地理等课程。教具齐全，历史、地理教学有标本古陶、化石等。首届招生20余人。
1927年，该校改名华北弘道院，设道学科和初、中、高级圣经科共4个班。
1935年，学制、课程渐接近普通中学。
1938年，该校设初、高中各3个班及1个培养传道人员的中级班。
1947年，该校改称私立弘道中学，以“以善先人，因材施教；博观深恒，强学力行”为校训。为美国北长老会山东教会培养中国神职人员的中心基地之一。
建国之后
1950年，江苏铜北中学迁入，改私立为公办，改名滕县中学。
1964年，该校改称滕县一中， 被教育部确定为全国31所大改试点学校之一。
1988年3月7日，滕县升为滕州市， 滕县一中相应改称为“滕州一中”。
1993年，该校成为全省首批三所免检的省级规范化学校之一。
1994年，创建国有民办滕州市育才中学。
1995年，创建滕州一中东校区。
1999年12月，该校被授予山东省19届全运会“先进集体“称号。
2001年，该校被评为“全国群众体育先进单位”。
滕州一中
2004年，被省教育厅评为对体育工作做出“突出贡献先进单位”。
2005年，被国家体育部和国家体育总局评为“全国体育工作先进单位”。
2009年9月，省教育厅授予该校“山东省中小学素质教育先进单位”称号。
2011年，被授予全市目标考核先进集体
2012年5月，该校被教育部评为“全国特色教育先进单位”。
办学条件
办学规模
截止2015年5月，该校总占地550余亩，总建筑面积达18万平方米，资产过亿元。其中高中在校生7000余人，每学年收入为1600多万元，共有东、西两校166个高中教学班。育才南、北两校68个初中教学班。
硬件设施
截止2015年5月，拥有省A级食堂、实验室、电教设施教室和运动器教室各1处。东校区拥有五层教学楼一座，可容纳70个教学班。西校区拥有多层学生宿舍楼一座，300米运动场一处，篮球场4个。
师资力量
截止2015年5月，共有教职工570人，其中专任教师456人,[7] 市级十佳明星教师10名，骨干教师64名，教学能手11名。
十佳明星教师(10名)
办学成果
学生成绩
高考成绩
2013年，一本过线1000余人，理科实考最高分714分，文科最高分681分，北大清华录取14人。
2014年，该校清华北大共录取9人，该校一同学获得山东省理科状元。
学科竞赛
2003年11月5日，全国奥林匹克高中数学联赛山东赛区决赛，该校共有3人获得一等奖，7人获得二等奖。[17]
2011年，“首届全国青少年环保发明大赛”，该校7名学生共获得一等奖6项，二等奖1项。
素质竞赛
1997年，滕州一中体育代表队代表中华人民共和国基层队赴法国色堡参加世界中学生“海鸥杯”田径运动会，取得男女团体总分第一的佳绩。
教师成绩
截止2015年5月，该校老师撰写的教研论文多次在国家、省级核心刊物上发表，其中2名老师论文在国家级核心期刊发表；有29名获得山东省名师及教学成果奖29名，有6名获得枣庄市名师及教学成果奖。
校训
砺志、尚礼，博学、深悟
校歌
迎着晨风，校旗飘扬，可爱的学校，培育我成长，热爱祖国热爱人民，热爱伟大的中国共产党。
滕州一中，校风优良，刻苦学习，尊敬师长，生动活泼，奋发向上，我们是祖国未来的栋梁。
迎着朝阳，鲜花怒放，可爱的学校，培育我成长，锻炼身体，磨练意志，养成崇高的道德风尚。
滕州一中，校风优良，刻苦学习，尊敬师长，生动活泼，奋发向上，我们是祖国未来的栋梁。
透过夜雾，灯火辉煌，可爱的学校，培育我成长，学习知识，创造未来，插上理想的翅膀去翱翔。
滕州一中，校风优良，刻苦学习，尊敬师长，生动活泼，奋发向上，我们是祖国未来的栋梁。
滕州一中，校风优良，刻苦学习，尊敬师长，生动活泼，奋发向上，我们是祖国未来的栋梁。
今天我谈一些经过个人实践的一些可以落地视角和方法。
所谓设计其实是指一个过程，在这个过程中采取一定的思维及思维方法，而深度学习就是要使用一系列的思维及思维方法来设计学到的知识，把学到的知识跟已有的知识联系起来，而这种联系就会打破原有知识的结构，重新塑造出一个新的知识结构。
系统思维
减法思维
还原法思维
假设性思维
创新的思维【水平思维】
抱着这个视角会有很大的问题，因为一个人的学习，不仅是学习书中的知识，而且要重构知识，每个人都有现有的知识存量，要把新学到的知识通过设计嵌入到已有的知识系统。
设计一个简单的形式来表述知识，形式就是指结构的外形可、可视化、形象化，并同时形成一种样式与秩序。而这个设计就要用到一些思维的方法【系统思维、减法思维、还原法思维、等等】。知识要经过自己的设计转一手，嵌入到已有的知识体系。
深度学习，就是在你读书的过程中，不仅是获取知识，而且还要生成知识，而这个生成的知识，就是透过设计。
读书获取的知识，跟大脑里能用的思维还有很远的距离，因为大脑用的思维要简单，而知识却是复杂的，知识要设计成简单的形式就能变成大脑里可用的思维。很多时候，读了很多书发现也没啥用，就是知识跟思维之间的断层造成的，这个断层，正是需要设计的地方。通过设计打通知识与思维的通道。知识要做到简，反过来大脑通过这个【简】就可以驾驭知识。
深度学习其实是一个对知识重新设计的过程。非设计不足以把知识变成大脑里的思维。非设计不足以把新学来的知识嵌入已有的知识体系。深度学习干的是就是一个设计的活，每个人都要或多或少懂一些设计思维，这样有助于自己更高效、更有深度的去学习。
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