线性代数是高等代数的一大分支.我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数.在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵.行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章.向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情.向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力.同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）.因此,虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种语言或速记,但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙.然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具.
线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的. 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,意思是 “ 解行列式问题的方法 ” ,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家, 微积分学奠基人之一 莱布 尼 兹 （ Leibnitz , 1693 年） . 1750 年 克莱姆（ Cramer ） 在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）. 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了.对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件. Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人.并且给出了一条法则,用二阶子式和它们的余子式来展开行列式.就对行列式本身进行研究这一点而言,他是这门理论的奠基人. Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式,这个方法现在仍然以他的名字命名. 德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论.另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家 柯西 (Cauchy) ,他大大发展了行列式的理论,在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理.相对而言,最早利用矩阵概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的双线性型工作中体现的.拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题,其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法.为了完成这些,他首先需要一阶偏导数为 0 ,另外还要有二阶偏导数矩阵的条件.这个条件就是今天所谓的正、负的定义.尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵.
高斯（ Gauss ） 大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题.（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学.）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名,但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统.在当时的几年里,高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分,而不是数学.而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中.许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当.
矩阵代数的丰富发展,人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义.二者要在大约同一时间和同一地点相遇. 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词,它来源于拉丁语,代表一排数. 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育. Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义,使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积.他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题.著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根,就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的.利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的.在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系. 数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语,并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念,并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论,
数学家试图研究向量代数,但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义.第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 书中提出的. (1844) .他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中,结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵,或简单矩阵.在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述.其后物理学家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量.我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的.
矩阵的发展是与线性变换密切相连的.到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间.现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的.二次世界大战后随着现代数字计算机的发展,矩阵又有了新的含义,特别是在矩阵的数值分析等方面. 由于计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础.
源自 上海交大
法兰西革命和各个政党的领袖,如巴那斯、丹东、卡诺、比约、瓦伦,曾经联合起来向一个人祀典.雅各宾派领导人罗伯斯庇尔在演讲中极力推崇这个人,说他是革命的导师,并下令将他的遗骸迁葬于先贤祠.在美国议会大厅里,这个人的半身像,面对着富兰克林和华盛顿.德国哲学家康德因读他的作品而为之神往,说他“使我双目重光”.德国狂飙运动时期的一切天才,由它的先驱莱新,经由赫德,而至于歌德和席勒,都是这个人的崇拜者.俄国大文豪托尔斯泰少年的时候,颈项间悬饰一块带有这个人肖像的纪念章.
是谁有如此大的魅力,吸引住了这么多伟大人物的神经?这个人就是法国大思想家、文学家卢梭.
让·雅克·卢梭公元1712年出生于瑞士的日内瓦.父亲是一个钟表匠,母亲在他出生后不久便离开了人世.由于生活困苦,卢梭很小就去当了仆人,以后又当过学徒、杂役、雕刻匠、秘书、家庭教师、乐谱抄写员,过着漂泊四方的生活.他曾与贵妇人有过几起罗曼趣事,其中包括与泰雷兹·勒瓦瑟的风流韵事,他俩没有结婚,却有5个孩子,但卢梭把这5个孩子都送进了一家育婴堂.
1750年卢梭在30岁时一举成名.那是第戎科学院开展了一次有奖征文活动,题目是《论科学与艺术是否败坏或增进道德》.卢梭的论文论证了科学和艺术进展的最后结果无益于人类,获得头等奖,使他顿时成为一代名人.随后他又写出了许多其他著作,其中包括《论人类不平等的起源和基础》,《埃罗伊兹的故事》,《爱弥尔》,《社会契约论》和《忏悔录》,所有这些著作都提高了他的声望,对后世产生了深远的影响.
卢梭是激进的资产阶级民主主义者.他信奉天赋人权学说,认为处于最初自然状态时的人是平等的,这种平等是天赋的人权.私有财产所有权的确立最终导致了不平等的产生.卢梭认为政治社会的合法基础是社会契约.人们根据社会契约把自己的权利与权力委托给社会,把个人意志统一为公意,而公意就是法律.人们订立社会契约,也有权废除社会契约.如果暴君无视公意的存在,任意处置臣民的生命财产安全,人民就有权废除他,重新确立新的契约.卢梭还提出了人民主权的思想,主张法律面前人人平等.他对贫富悬殊的现象极为痛恨,但又不主张消灭私有制；他谴责教会的黑暗和虚伪,但又反对无神论,主张自然神论.
卢梭的思想在法国大革命时产生了巨大的影响,他的著作更被当作“革命圣经”被人们广为阅读.无怪乎拿破仑说,没有卢梭,就没有法国大革命.卢梭给人类留下了丰富的文化遗产,但对他本人来说,他一生得到的荣誉少,迫害多.他的书在他在世时被多次焚烧,他也被迫流亡国外,长期过着隐居漂泊的生活.58岁时,卢梭被允许回到了法国,但几年后又不幸遭遇了车祸.1778年,一代巨人卢梭死去时,他身边没有一个亲人.
在卢梭的交往中,虽然起初法国启蒙运动的几个作家是卢梭的朋友,其中包括百科全书派的狄德罗和让·达朗贝尔,但是他的思想不久就开始与其他人发生了严重的分歧.卢梭反对伏尔泰在日内瓦建立一家剧院的计划,指出剧院是所伤风败俗的学校,结果他同伏尔泰反目,成了终生的仇敌.此外卢梭终身提倡情感主义,与伏尔泰及百科全书派成员的理性主义形成了鲜明的对照.从1762年起,卢梭由于写政论文章,与当局发生了严重的纠纷.他的一些同事开始疏远他,大约就在这个时期,他患了明显的偏执狂症.虽然有些人对他表示友好,但他却采取怀疑和敌视的态度,同他们每个人都争吵过.他一生的最后20年基本上是在悲惨痛苦中度过的.
作为革命民主主义阵营中小资产阶级的代言人，卢梭针对十八世纪法国旧制度之下贵族社会的虚伪与腐朽，进行了尖锐而深刻的攻击。首先该说明的一点便是《论科学与艺术》一篇论文的题目，读者一般会理解为卢梭对于“科学与艺术”是持推崇态度，因此，非常需要申明的是，卢梭对“科学与艺术”所立足的论述角度是质疑的。卢梭所探讨的问题便是，科学与艺术的复兴是有助于敦风化俗呢，还是伤风败俗。在该论文中，卢梭批判的是给贵族资产阶级以腐败和道德沦丧赋予充分理由的所谓的科学与艺术，他断言科学与艺术是与人民相矛盾的，他揭示富于人民性的真挚感情，用于反抗贵族文明的虚伪造作，这种返璞归真的要求反映了第三等级中的平民阶层对空虚腐化的贵族文化的抗议。因此，由这篇论文所开始提出的返于自然的思想奠定了今后卢梭一生所致力于追求的自然主义教育的基石。
一、自然教育思想的含义
卢梭自然主义教育理论是卢梭教育理论的主体。卢梭认为自然应顺从于大自然的法则，发展人的天性，他将教育的来源界定为三个方面：“这种教育，我们或是受制于自然，或是受制于人，或是受制于物。”卢梭认为：“我们每一个人都是由三种教师培养起来的。一个学生，如果在他身上这三种教师的不同的教育互相冲突的话，他所受的教育就不好……如果在他身上这三种不同的教育是一致的，都趋向同样的目的，他就会自己达到他的目标，而且生活得很有意义。这样的学生，才是受到了良好的教育的。”由于自然的教育人力不能控制，所以无法使自然的教育向事物的和人为的教育靠拢，只能是后两者向自然的教育趋于一致，才能实现三种教育的良好结合。因此，教育“归于自然”、即以自然的教育为基准，才是良好有效的教育。
二、《论科学与艺术》是卢梭自然教育思想的雏形
（一）人性观
论文中提到：“在艺术还没有塑成我们的风格，没有教会我们的感情使用一种造作的语言之前，我们的风尚是粗犷的，然而却是自然的；从举止的不同，一眼就可以看出性格的不同。那时候，人性根本上虽然不见得更好，然而人们却很容易相互深入了解，因此可以找到他们自己的安全，而这种我们今天已不再能感到其价值的好处，就使得他们能很好地避免种种罪恶。"卢梭的早期思想其实还没有形成明确的系统性，他认为人性虽是自然的，但人的追求却是在世俗的邪恶与虚伪下具有一致性，即都是在礼节的强迫和命令下慢慢远离道德，而这里所提到的“礼节”便是科学与艺术在社会中形成的一种无形的罪恶形态。卢梭抨击的是随着科学与艺术臻于完美的同时所带来的腐化现象对人性的抹灭。这一观点也开发并完善在卢梭的自然教育理念中。
在卢梭之后的著作《爱弥儿》中说到：“出自造物主之手的东西，都是好的，而一到了人的手里，就全变坏了。”此观点就延续了卢梭在《科学与艺术》中的理念，卢梭把先天存在的自然感情分为两种，即自爱心和怜悯心，证明人性善的观点，倡导人要顺从天性，充分开发自身性善的潜能。而将天性观念注入其教育思想中便是要求儿童“归于自然”，扬善弃恶，能够跳出世俗的框架，也就是说教育要“以天性为师，而不以人为师”，人要成为“天性所造成的人，而不是人所造成的人”。
（二）价值观
暂且把卢梭眼中人们对于生活态度的选择称之为价值的选择，卢梭在《科学与艺术》一文中也显示出了自己对于价值观所持的立场。卢梭认为：在科技日益发达，生活日益舒适的同时，人们的价值高度并不与生活水平成正比，相反的，建筑的繁华，生活的丰富以及日常趣味的多样带来的是无止境的奢侈之风和人性的堕落，真正的勇敢开始消弱，尚武的德行也随之消失，而这些，都归咎于科学与艺术的昌盛。需要申明的是，卢梭并非是否定科学与艺术本身，而是针对于其所带来的一系列引发人类罪恶根源的浮夸表象。当然，卢梭的自然教育思想便是和这一观点一脉相承的。
卢梭重视事物对人的教育启发作用。他认为如果事物与自然的人性相冲突的话，其引起的教育就是恶性的，正如《论科学与艺术》中所抨击的充斥着轻佻格调的猥琐事物，必定导致人类价值风尚的解体，以至于引发趣味的腐化。因此，只有当来自自然、人和事物的教育达到一致的情况下，才能实现良好的教育。
（三）道德观
卢梭在《论科学与艺术》一文中也把道德和科学联系了起来：“如果说科学的教养对于战斗品质是有害的，那么它对于道德品质就更加有害了。从我们最初的岁月起，就有一种毫无意义的教育在虚饰着我们的精神，腐蚀着我们的判断。”从道德的角度出发，卢梭怀疑的甚至是所有来自世俗的教育：“我看到在各个方面人们都不惜巨大的代价设立无数的机构来教导青年以种种事物，但只有他们的责任心却被遗漏了。”在这里，即使是高尚、正直、节制、人道、勇敢这些名词，只要是灌上社会中的浮夸表象，通通都是有悖于道德的，它们只不过是在种种恶劣行为下伪装出的模范罢了。卢梭是热爱道德的，他渴望的是一种真正归于自然的真实的道德观，而并非是在贪婪和邪念下扭曲的道德。
在卢梭看来，道德教育不仅具有内在的目的，还有其自身的任务，这种任务有三个方面，即激发善良感情、养成善良判断和培养善良意志。卢梭认为，自然状态下的自然人，既不是一个原始社会下的无文化的野蛮人，也不是要脱离社会现实到森林中去生活的人。卢梭反对旧教育的灌输法和训诫罚，他认为要通过道德习惯、道德情感和道德认识的途径，重行为实践而不尚空谈，重示范引导而不尚训斥，使学生在自然而然中养成道德行为，巩固道德教育成果。卢梭的教育方法具有鲜明的特性，最突出的就是顺应自然和行为实践。卢梭的道德教育可谓是理想化的，他是建立在“自然状态”的假象之上，按他的设想，自然状态是一种和平的、人人平等的、自由的状态，这种状态不是对现实的描述，而是对超验的本体世界的一种形式的思考，是作为理性存在物的人的不可避免的。但我们不能否认卢梭在其自然教育思想中针对于道德这一理念对后世教育的影响力。
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